Question

規定，其中x∈R，m是正整數，且=1，這是組合數（n、m是正整數，且m≤n的一種推廣）.

（1）（文）求的值；

（理）求的值；

（2）（文）設x＞0，當x為何值時，取最小值？

（理，文2）組合數的兩個性質：

①.  ②.

是否都能推廣到（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，請寫出推廣的形式，并給出證明；若不能，則說明理由.

（3）（理）已知組合數是正整數，證明：當x∈Z，m是正整數時，∈Z.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）（文）解：. （理）解：. （2）（文）解：. ∵x＞0，x+≥2. 當且僅當x=時，等號成立. ∴當x=時，取得最小值. （理，文3）解：性質①不能推廣.例如當x=時，有定義，但無意義；性質②能推廣，它的推廣形式是，x∈R，m是正整數，事實上 當m=1時，有， 當m≥2時， . （3）（理）證明：當x≥m時，組合數∈Z. 當0≤x＜m時，=0∈Z. 當x＜0時，∵－x+m－1＞ 0， ∴ ∈Z.