Question

2．已知函數$f（x）=4cos?x•sin（{?x+\frac{π}{4}}）（?＞0）$的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）討論f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式，進而利用三角函數周期公式即可計算得解．
（Ⅱ）由角的范圍，利用正弦函數的單調性即可得解．

解答 解：（I）∵$f（x）=4cos?x•sin（{?x+\frac{π}{4}}）（?＞0）$
=$2\sqrt{2}cosωx（sinωx+cosωx）=\sqrt{2}（sin2ωx+cos2ωx+1）=2sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}=π，可得：ω=1$．
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}，ω=1$．
（Ⅱ）∵$當x∈[0，\frac{π}{2}]時，（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{π}{4}，π+\frac{π}{4}]，令2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}解得x=\frac{π}{8}$；
∴$y=f（x）在[0，\frac{π}{8}]上單調遞增；在[\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]上單調遞減$．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數周期公式，正弦函數的單調性的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．