Question

已知函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，且f′（x）=2x-1，數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若數列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，求數列{b_n}的前n項和．
（Ⅲ）設P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：本題將數列與函數、導數知識有機的結合在一起，綜合考查了導數的逆用，對數的運算、等差數列、等差數列的求和、錯位相減法等知識點以及分析問題、綜合解決問題的能力．（Ⅰ）首先利用導數知識求出S_n的關系式，然后利用S_n與a_n的關系求a_n；（Ⅱ）利用對數知識求出b_n，然后利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和，（Ⅲ）是一個是開放性問題，利用等差數列求和公式求出P_n和Q_n，然后利用作差法比較大小．
解答：解：（I）由f′（x）=2x-1得f（x）=x²-x+b（b∈R）
因為y=f（x）的圖象過原點，所以f（x）=x²-x
所以S_n=n²-n（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-2
又因為a₁=S₁=0適合a_n=2n-2
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-2（n∈N^*）（4分）
（II）由a_n+log₃n=log₃b_n得：（5分）
所以T_n=b₁+b₂+b₃+b_n=3+2•3²+3•3⁴++n•3^2n-2（1）
所以9T_n=3²+2•3⁴+3•3⁶++n•3²ⁿ（2）（6分）
（2）-（1）得：8T_n=n•3²ⁿ-（1+3²+3⁴+3⁶++3^2n-2）=
所以（8分）
（Ⅲ）a₁，a₄，a₇，a_3n-2組成以0為首項6為公差的等差數列，所以M；（9分）
a₁₀，a₁₂，a₁₄，，a_2n+8組成以18為首項4為公差的等差數列，所以（10分）
故P_n-Q_n=3n²-3n-2n²-16n=n²-19n=n（n-19）（11分）
所以，對于正整數n，當n≥20時，P_n＞Q_n；
當n=19時，P_n=Q_n；
當n≤18時，P_n＜Q_n．（14分）
點評：求解有關數列的綜合題，首先要善于從宏觀上整體把握問題，能透過給定信息的表象，揭示問題的本質，然后在微觀上要明確解題方向，化難為易，化繁為簡，注意解題的嚴謹性．數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納、猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出．而解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視，因此，在平時要加強對能力的培養．