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已知函數y=f(x)的圖象經過坐標原點,且f′(x)=2x-1,數列{an}的前n項和Sn=f(n)(n∈N*).
(I)求數列{an}的通項公式;
(II)若數列{bn}滿足an+log3n=log3bn,求數列{bn}的前n項和.
(Ⅲ)設Pn=a1+a4+a7+…+a3n-2,Qn=a10+a12+a14+…+a2n+8,其中n∈N*,試比較Pn與Qn的大小,并證明你的結論.
【答案】分析:本題將數列與函數、導數知識有機的結合在一起,綜合考查了導數的逆用,對數的運算、等差數列、等差數列的求和、錯位相減法等知識點以及分析問題、綜合解決問題的能力.(Ⅰ)首先利用導數知識求出Sn的關系式,然后利用Sn與an的關系求an;(Ⅱ)利用對數知識求出bn,然后利用錯位相減法求數列{bn}的前n項和,(Ⅲ)是一個是開放性問題,利用等差數列求和公式求出Pn和Qn,然后利用作差法比較大小.
解答:解:(I)由f′(x)=2x-1得f(x)=x2-x+b(b∈R)
因為y=f(x)的圖象過原點,所以f(x)=x2-x
所以Sn=n2-n(2分)
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-2
又因為a1=S1=0適合an=2n-2
所以數列{an}的通項公式為an=2n-2(n∈N*)(4分)
(II)由an+log3n=log3bn得:(5分)
所以Tn=b1+b2+b3+bn=3+2•32+3•34++n•32n-2(1)
所以9Tn=32+2•34+3•36++n•32n(2)(6分)
(2)-(1)得:8Tn=n•32n-(1+32+34+36++32n-2)=
所以(8分)
(Ⅲ)a1,a4,a7,a3n-2組成以0為首項6為公差的等差數列,所以M;(9分)
a10,a12,a14,,a2n+8組成以18為首項4為公差的等差數列,所以(10分)
故Pn-Qn=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n(n-19)(11分)
所以,對于正整數n,當n≥20時,Pn>Qn
當n=19時,Pn=Qn
當n≤18時,Pn<Qn.(14分)
點評:求解有關數列的綜合題,首先要善于從宏觀上整體把握問題,能透過給定信息的表象,揭示問題的本質,然后在微觀上要明確解題方向,化難為易,化繁為簡,注意解題的嚴謹性.數列問題對能力要求較高,特別是運算能力、歸納、猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出.而解答題更是考查能力的集中體現,尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查,應引起我們足夠的重視,因此,在平時要加強對能力的培養.
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