Question

已知橢圓．
（1）求過點且被點P平分的弦所在直線的方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（3）過點A（2，1）引直線與橢圓交于B、C兩點，求截得的弦BC中點的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設過點且被點P平分的弦與橢圓交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）點，
則=，=
∵A，B在橢圓上，∴①②
②-①得，
=-
即，弦AB的斜率為-
∴方程為y-=-（x-）
即
（2）設斜率為2的平行弦的中點坐標為（x，y），
則根據中點弦的斜率公式，有-=2

（3）當過點A（2，1）引的直線斜率存在時，設方程為y-1=k（x-2），
代入橢圓方程，消y，得（+k²）x²+2（1-2k）kx+4k²-4k=0
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=，
設弦BC中點坐標為（x，y），則x==，y==，
∴=-2k
又∵k=，∴，整理得x²-2x+2y²-2y=0
當過點A（2，1）引的直線斜率不存在時，方程為x=2，與橢圓無交點
∴所求弦BC中點的軌跡方程為x²-2x+2y²-2y=0．
分析：（1）設出兩個交點坐標，利用兩點在橢圓上，代入橢圓方程，利用點差法，求斜率，再代入直線的點斜式方程即可．
（2）同（1）類似，設出這一系列的弦與橢圓的交點坐標，代入橢圓方程，利用點差法，求斜率，再讓斜率等于2，化簡，即可得斜率為2的平行弦的中點軌跡方程．
（3）設出直線BC方程，用參數k表示，，再利用中點坐標公式，消去k，即可得弦BC中點的軌跡方程．
點評：本題主要考查了點差法求中點弦的斜率，屬于圓錐曲線的常規題．