Question

（2013•濟南一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁和F₂，由4個點M（-a，b）、N（a，b）、F₂和F₁組成了一個高為

3

，面積為3

3

的等腰梯形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點F₁的直線和橢圓交于兩點A、B，求△F₂AB面積的最大值．

Answer 1

分析：解：（1）由題意知b=

3

，

1

2

(2a+2c)b=3

3

，即a+c=3①，又a²=3+c²②，聯立①②解得a，c，；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過點F₁的直線方程為x=ky-1，代入橢圓方程消掉x得y的二次方程，△F₂AB的面積S=

1

2

×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由韋達定理代入面積表達式變為k的函數，適當變形借助函數單調性即可求得S的最大值；

解答：解：（1）由題意知b=

3

，

1

2

(2a+2c)b=3

3

，所以a+c=3①，
又a²=b²+c²，即a²=3+c²②，
聯立①②解得a=2，c=1，
所以橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過點F₁的直線方程為x=ky-1，
由

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

得（3k²+4）y²-6ky-9=0，△＞0成立，
且y1+y2=

6k

3k2+4

，y1y2=

-9

3k2+4

，
△F₂AB的面積S=

1

2

×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

36k2 (3k2+4)2 + 36 3k2+4

=12

k2+1 (3k2+4)2

=

12

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

，
又k²≥0，所以9(k2+1)+

1

k2+1

+6遞增，
所以9(k2+1)+

1

k2+1

+6≥9+1+6=16，
所以

12

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

≤

12

16

=3，當且僅當k=0時取得等號，
所以△F₂AB面積的最大值為3．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查函數思想，解決（2）問的關鍵是合理表示三角形面積并對表達式恰當變形．