Question

幾何證明選講   如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于D。

（Ⅰ）證明：DB=DC；

   （Ⅱ）設圓的半徑為1，BC=  ，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑。

Answer 1

【命題意圖】本題主要考查幾何選講的有關知識，是容易題.

【解析】（Ⅰ）連結DE，交BC與點G.

由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，

又∵DB⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，∴BG=.

設DE中點為O，連結BO，則∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，

∴CF⊥BF，  ∴Rt△BCF的外接圓半徑等于.