Question

各項均為正數的數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，都有2S_n=2a_n²+a_n
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求證：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅲ）若b_n=

4Sn

n+1

•2n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由于a₁=S₁，則2a₁=2S₁=2a₁²+a₁，解得即可；
（2）由于2S_n=2a_n²+a_n，再利用an=

S1，n=1  Sn-Sn-1，n≥2

和等差數列的通項公式即得證；
（3）利用錯位相減法求數列的前n項和．

解答：解：（1）∵2S_n=2a_n²+a_n，
令n=1，得2a₁=2S₁=2a₁²+a₁，解得a₁=

1

2

．
（2）當n≥2時，由2S_n=2a_n²+a_n，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1，
得2a_n=（2a_n²+a_n）-（2a_n-1²+a_n-1）
∴（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=

1

2

，
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列，
（3）由（2）知a_n=

1

2

+（n-1）×

1

2

=

1

2

n．
S_n=a_n²+

1

2

a_n=(

1

2

n)2+

1

2

×

1

2

n=

n(n+1)

4

由于b_n=

4Sn

n+1

•2n=n•2ⁿ，
則T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ                 ①
2T_n=2（1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）
=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹                  ②
①-②得-T_n=1•2¹+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：熟練掌握利用an=

S1，n=1  Sn-Sn-1，n≥2

求a_n和等差數列的通項公式、錯位相減法求和等是解題的關鍵．