Question

在R上定義運算*：a*b=2ab+2a+b，且f(x)=

x*(x-2)，(x≤0) (x-1)*(-x)，(x＞0)

，則不等式f（x）＜-1的解集為（　　）

• A．(-

  1

  2

  ，1)
• B．(-1，

  1

  2

  )∪(1，+∞)
• C．(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )∪(1，+∞)
• D．（-1，2）

Answer 1

分析：先利用新定義確定函數f（x）的表達式，然后通過討論求解不等式．

解答：解：由定義運算可得，當x≤0時，f（x）=2x（x-2）+2x+x-2=2x²-x-2．
當x＞0時，f（x）=-2x（x-1）+2（x-1）-x=-2x²+3x-2．
所以當x≤0時，由f（x）＜-1得2x²-x-2＜-1，即2x²-x-1＜0，解得-

1

2

＜x＜1，所以此時不等式的解-

1

2

＜x≤0．
當x＞0時，由f（x）＜-1得-2x²+3x-20，解得x＞1或x＜

1

2

，所以此時不等式的解為x＞1或0＜x＜

1

2

．
所以不等式的解為x＞1或-

1

2

＜x＜

1

2

，所以不等式的解集為（-

1

2

，

1

2

）∪（1，+∞）．
故選C．

點評：本題的考點是新定義以及一元二次不等式的解法．在解不等式時要進行分段求解．