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在△ABC中，AB=2，AC=4，若點D為邊BC的中點，P為△ABC的外心，給出下列數量積：
①
AB
•
AC
；
②
AD
•
BC
；
③
AD
•
AB
；
④
AP
•
AB
；
⑤
AP
•
BC
；
其中其中數量積為定值的序號是
②④⑤
②④⑤
．（請填上所有正確的結論的序號）．
分析：①
AB
與
AC
的夾角不是定值，故數量積不為定值；
②
AD
•
BC
=
1
2
（
AB
+
AC
）•（
AC
-
AB
）=
1
2
(16-4)=6；
③
AD
•
AB
=
1
2
（
AB
+
AC
）•
AB
=2+
1
2
AB
•
AC
，故數量積不為定值；
④
AP
•
AB
=|
AP
||
AB
|cos＜
AP
，
AB
＞；
⑤
AP
•
BC
=
AP
•（
AC
-
AB
）=
AP
•
AC
-
AP
•
AB
．
解答：解：①∵
AB
與
AC
的夾角不是定值，∴數量積不為定值，故①不正確；
②
AD
•
BC
=
1
2
（
AB
+
AC
）•（
AC
-
AB
）=
1
2
(16-4)=6，故②正確；
③
AD
•
AB
=
1
2
（
AB
+
AC
）•
AB
=2+
1
2
AB
•
AC
，由①知數量積不為定值，故③不正確；
④
AP
•
AB
=|
AP
||
AB
|cos＜
AP
，
AB
＞=2×1=2，故④正確；
⑤
AP
•
BC
=
AP
•（
AC
-
AB
）=
AP
•
AC
-
AP
•
AB
=4×2-2×1=6，故⑤正確
綜上，正確的結論的序號②④⑤
故答案為②④⑤
點評：本題考查向量的數量積，考查命題真假的判斷，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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在△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，則（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圓的面積．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=a，AC=b，當
a
•
b
＜0時，△ABC為
鈍角三角形
鈍角三角形
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，則△ABC的面積為
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圓的面積為
7π
3
7π
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M為AB的中點，
BN
=
1
3
BC
，則
 
．

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