Question

設S_n是正項數列{a_n}的前n項和，且a_n和S_n滿足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3，…），則S_n=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由4S_n=（a_n+1）²，當n=1時，解得a₁=1．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

an

2

+

1

2

)2-(

an-1

2

+

1

2

)2，可得a_n-a_n-1=2．利用等差數列的通項公式即可得出．

解答： 解：由4S_n=（a_n+1）²，當n=1時，4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

an

2

+

1

2

)2-(

an-1

2

+

1

2

)2，
∵?n∈N^*，a_n＞0．
化為a_n-a_n-1=2．
∴a_n=2n-1．
∴S_n=n²．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．