Question

已知偶函數f （x），對任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，求
（1）f （0）的值；
（2）f （x）的表達式；
（3）令F(x)=a[f(x)]2-2f(x) (a＞0且a≠1)，求F（x）在（0，+∞）上的最值．

Answer 1

分析：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同樣x₁=0，x₂=1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根據f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）先由f（x）的解析式，再利用配方法結合指數函數的單調性即可得到F（x）在（0，+∞）上的最值．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，則有f（0）=f（0）+f（0）+1，故f（0）=-1
（2）令x₁=x，x₂=-x，則有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x²+1=-1
又∵f（x）為偶函數，故f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x²-1
（3）∵f（x）=x²-1，
∴F(x)=a(x2-1)2-2(x2-1)=ax4-4x2+3=a(x2-2)2-1，
∵（x²-2）²-1≥-1，
∴當a＞1時，F （x）的最小值為

1

a

，最大值不存在
當0＜a＜1時，F （x）的最大值為

1

a

，最小值不存在

點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合．解決第一問的關鍵在于賦值法的應用．一般在見到函數解析式不知道而要求具體的函數值時，多用賦值法來解決．