Question

我們規定：對于任意實數A，若存在數列{a_n}和實數x（x≠0），使得，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為．如：，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（I）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式；
（II）記，若{a_n}是等差數列，且滿足a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，求b_n=9217時n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³，能將m表示成x進制的簡記形式．
（Ⅱ）由{a_n}是等差數列，即已知條件利用通項公式即可得出a_n，利用“錯位相減法”即可得出b_n，進而解出n．
解答：解：（I）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³=．
（Ⅱ）∵{a_n}是等差數列，設公差為d，又a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，
∴，解得，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
+n×2^n-1，
+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
兩式相減得-b_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴，
∴．
又b_n=9217，∴（n-1）×2ⁿ+1=9217，解得n=10．
點評：本題考查數列的遞推公式即新定義，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設的隱含條件，合理地進行等價轉化．數列掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式及其“錯位相減法”是解題的關鍵．