Question

【題目】設為實數，已知，

（1）若函數，求的值；

（2）當時，求證：函數在上是單調遞增函數；

（3）若對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）.

【解析】

（1）直接把代入函數解析式，得到方程，求出的值；

（2）求出函數的解析式，用函數單調性的定義進行證明即可；

（3）分類討論，把函數的解析式，轉化為二次函數解析式、分式類型函數解析式形式，利用它們的單調性求出的取值范圍.

（1）；

（2），當時，解析式可化簡為：

，設是上任意兩個不相等的實數，則有，

，

因為，，所以，因此有

，所以函數是上的遞增函數；

（3）當時，而，所以，因為，所以有

在恒成立，設，對稱軸為：，故在上是增函數，要想（*）恒成立，只需

該不等式恒成立，故；

當時，， 此時函數是單調遞增函數，要想在上恒成立，只需這與矛盾，故不成立；

當時，，

當時，函數是單調遞增函數，當時，由（2）可知函數是單調遞增函數，所以函數在時，最小值為

要想在上恒成立，只需，而，所以，綜上所述：的取值范圍為：.