Question

（2013•房山區二模）拋物線C：y²=2px的焦點坐標為F(

1

2

，0)，則拋物線C的方程為

y²=2x

，若點P在拋物線C上運動，點Q在直線x+y+5=0上運動，則|PQ|的最小值等于

9 2

4

．

Answer 1

分析：由y²=2px的焦點坐標為F(

1

2

，0)，得

p

2

=

1

2

，從而求得p值，設與直線x+y+5=0平行的拋物線的切線方程為x+y+m=0，直線x+y+5=0與切線距離即為|PQ|的最小值，聯立切線方程與拋物線方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，從而得切線方程，根據兩點間距離公式即可求得答案．

解答：解：因為y²=2px的焦點坐標為F(

1

2

，0)，
所以p＞0，且

p

2

=

1

2

，解得p=1，
所以拋物線方程為y²=2x，
設與直線x+y+5=0平行的拋物線的切線方程為x+y+m=0，
由

x+y+m=0 y2=2x

得y²+2y+2m=0，
令△=0，即2²-4×2m=0，解得m=

1

2

，
則切線方程為x+y+

1

2

=0，
兩平行線間的距離d=

|5- 1 2 |

2

=

9 2

4

，即為|PQ|的最小值．
故答案分別為：y²=2x，

9 2

4

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、拋物線的性質，考查轉化思想，解決本題的關鍵把|PQ|的最小值轉化為直線與拋物線切線間的距離求解．