Question

AB是橢圓中不平行于對(duì)稱軸的一條弦，M是AB的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，求證：k_AB•k_OM為定值．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y₁+y₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，表示出M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM的斜率，進(jìn)而代入k_AB•k_OM中求得結(jié)果為定值，原式得證．
解答：證明：設(shè)直線為：y=kx+c
聯(lián)立橢圓和直線消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-
所以，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：M_x=（x₁+x₂）=-
又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=
所以，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)M_y=（y₁+y₂）=
所以：Kom===-
所以：
k_AB•k_OM=k×=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及弦長(zhǎng)問題，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問題，利用差分法較為簡(jiǎn)便．