Question

AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中不平行于對稱軸的一條弦，M是AB的中點，O是橢圓的中心，求證：k_AB•k_OM為定值．

Answer 1

分析：設出直線方程，與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂，的表達式，根據直線方程求得y₁+y₂的表達式，進而根據點M為AB的中點，表示出M的橫坐標和縱坐標，求得直線OM的斜率，進而代入k_AB•k_OM中求得結果為定值，原式得證．

解答：證明：設直線為：y=kx+c
聯立橢圓和直線

y=kx+c x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-

2a 2kc

b2+k2a2

所以，M點的橫坐標為：M_x=

1

2

（x₁+x₂）=-

a 2kc

b2+k2a2

又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=

2b2c

b2+k2a2

所以，點M的縱坐標M_y=

1

2

（y₁+y₂）=

b2c

b2+k2a2

所以：Kom=

My

Mx

=

b2c b2+k2a2

a 2kc b2+k2a2

=-

b．2

a2k

所以：
k_AB•k_OM=k×

b．2

a2k

=

b．2

a2

點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及弦長問題，利用弦長公式及韋達定理求解，涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便．