Question

本題滿分15分）已知函數（a-b）<b)。

（I）當a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程。

（II）設是的兩個極值點，是的一個零點，且，

證明：存在實數，使得 按某種順序排列后的等差數列，并求

Answer 1

解析：本題主要考查函數的極值概念、導數運算法則、切線方程、導線應用、等差數列等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創新意識。

(Ⅰ)解：當a=1,b=2時，

因為f’(x)=(x-1)(3x-5)

故f’(2)=1

f(2)=0,

所以f(x)在點（2,0）處的切線方程為y=x-2

（Ⅱ）證明：因為f′（x）＝3（x－a）（x－），

       由于a<b.

       故a<.

       所以f（x）的兩個極值點為x＝a，x＝.[

       不妨設x₁＝a，x₂＝，

       因為x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零點，

       故x₃＝b.

       又因為－a＝2（b－），

       x₄＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差數列，

所以存在實數x₄滿足題意，且x₄＝.