Question

已知圓O：x²+y²=1，直線l：y=

3

3

(x+4)．
（1）設圓O與x軸的兩交點是F₁，F₂，若從F₁發出的光線經l上的點M反射后過點F₂，求以F₁，F₂為焦點且經過點M的橢圓方程；
（2）點P是x軸負半軸上一點，從點P發出的光線經l反射后與圓O相切．若光線從射出經反射到相切經過的路程最短，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用對稱求出2a，F₁F₂=2c，由題意可求橢圓方程；
（2）作出圖形，由題意可知圖中P的對稱點到圓O的切線長最短，就是過原點O且與l垂直的直線與l′的交點．

解答：解（1）如圖，由光學幾何知識可知，點F₁關于l的對稱點F₁′
在過點A（-4，0）且傾斜角為60°的直線l′上．
在△AF₂F₁′中，橢圓長軸長2a=MF1+MF2=

F

/ 1

F2=

19

，
又橢圓的半焦距c=1，∴b2=a2-c2=

15

4

，
∴所求橢圓的方程為

x2

19 4

+

y2

15 4

=1；
（2）光線從射出經反射到相切經過的路程最短，即為l′上的點P′到圓O的切線長最短，
由幾何知識可知，P′應為過原點O且與l垂直的直線與l′的交點，
這一點又與點P關于l對稱，∴AP=AP′=2，故點P的坐標為（-2，0）．

點評：本題考查橢圓的定義，直線和圓的位置關系，對稱知識，最值問題，知識點多；
考查數形結合的數學思想，等價轉化的思想，是難題，高考易考點．