Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

Answer 1

（Ⅰ）證明：如圖，連接AB₁與A₁B相交于M，則M為A₁B的中點，
連接MD，D又為AC的中點，
∴B₁C∥MD．
又B₁C不包含于平面A₁BD，MD?平面A₁BD，B₁C∥平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B₁B∴四邊形ABB₁A₁為正方形
∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁（9分）