Question

某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設該容器的建造費用為千元．

（Ⅰ）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)當時，建造費用最小時當時，建造費用最小時.

試題分析：(Ⅰ)由圓柱和球的體積的表達式，得到l和r的關系．再由圓柱和球的表面積公式建立關系式，將表達式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用l≥2r，求出自變量r的范圍；(Ⅱ)用導數的知識解決，注意到定義域的限制，在區間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區間內和在區間外進行分類討論.
試題解析：（I）設容器的容積為V，由題意知
故
由于因此                          _.3分
所以建造費用
因此                       _..5分
（II）由（I）得
由于   當
令_;所以          .7分
（1）當時，

所以是函數y的極小值點，也是最小值點。           .10分
（2）當即時， 當函數單調遞減，
所以r=2是函數y的最小值點，
綜上所述，當時，建造費用最小時
當時，建造費用最小時                13分