Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與平面B₁BCC₁所成角的大小；
（2）求二面角E-AF-B的大小．

Answer 1

（1）解：建立坐標(biāo)系如圖 所示，
則平面B₁BCC₁的一個法向量為
∵E（2，1，2），C（0，2，0），
∴，
可知直線EC的一個方向向量為．
設(shè)直線EC與平面B₁BCC₁成角為θ，
則sinθ===．
故直線EC與平面B₁BCC₁所成角的大小為．
（2）由（1）可知：平面ABCD的一個法向量為．
設(shè)平面AEF的一個法向量為，
∵，，∴．得，
令x=1，則y=2，z=-1，
∴===．
由圖知二面角E-AF-B為銳二面角，故其大小為．
分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出線面角；
（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角的大小．
點評：本題考查了：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角得出線面角；利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的方法．必須熟練掌握．