Question

選修4-4：坐標系與參數方程
以平面直角坐標系xoy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+

π

4

)+

2

=0，曲線C₁的參數方程為 

x=2+4cosθ y= 1 2 +sinθ

(θ是參數)
（1）若把曲線C₁上的橫坐標縮短為原來的

1

4

，縱坐標不變，得到曲線C₂，求曲線C₂在直角坐標系下的方程
（2）在第（1）問的條件下，判斷曲線C₂與直線l的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先寫出曲線C₁的直角坐標方程，將曲線C₁上的橫坐標縮短為原來的

1

4

，縱坐標不變，得到曲線C₂的方程即可；
（2）直線l的極坐標方程化成直角坐標方程，利用曲線C₂的圓心到直線l的距離公式，求出距離表達式，利用直線與圓的位置關系得出曲線C₂與直線l的位置關系．

解答：解：（1）由題意可知：曲線C₁的參數方程為 

x=2+4cosθ y= 1 2 +sinθ

(θ是參數)，
因為曲線C₁的直角坐標方程為：

(x-2) 2

16

+

(y- 1 2 ) 2

1

=1．
∴把曲線C₁上的橫坐標縮短為原來的

1

4

，縱坐標不變，得到曲線C₂，
則曲線C₂在直角坐標系下的方程為：

(4x-2) 2

16

+

(y- 1 2 ) 2

1

=1，
即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=1．
（2）將原極坐標方程ρcos(θ+

π

4

)+

2

=0化為：
ρcosθ-ρsinθ+2=0，
化成直角坐標方程為：x-y+2=0，
直線為 x-y+2=0圓心到直線的距離是d=

2

＞1，
所以直線和圓相離．

點評：本題是中檔題，考查直線的參數方程，直線與圓錐曲線的位置關系，點到直線的距離的應用，考查計算能力，轉化思想．