Question

有一個項數為10的實數等比數列{a_n}，S_n（n≤10）表示該數列的前n項和．當2≤n≤10時，若S_k，S₁₀，S₇成等差數列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數列．

Answer 1

分析：本題考查等差數列及其證明，題意清晰、思路明確，設出等比數列{a_n}的公比為q，根據當2≤n≤10時，S_k，S₁₀，S₇成等差數列可以將其用首項a₁及公比q表示，同樣用首項a₁及公比q分別表示a_k-1，a₉，a₆，然后通過a₁及q的聯系證明之．

解答：解：由題意，當q=1時，20a₁=ka₁+7a₁，∴k=13＞10，
此時s_k，s₁₀，s₇不成等差數列；
當q≠1時，s_k=

a1(1-qk)

1-q

，s₁₀=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

；
由2s₁₀=s_k+s₇得：2q¹⁰=q^k+q⁷，
即：2q⁸=q^k-2+q⁵，
∴2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵，
從而得：2a₉=a_k-1+a₆，
∴a_k-1，a₉，a₆也成差數列．

點評：本題的證明抓住了已知的“S_k，S₁₀，S₇成等差數列”和所證明的“a_k-1，a₉，a₆也成等差數列”的關鍵紐帶首項a₁和q，使證明顯得自然流暢，大有水到渠成之感，需要注意的是運算中化簡整理非常重要，這是去除表象，找到本質的一個過程．