Question

已知函數，滿足f（2）=-2，
（1）求實數m的值；
（2）判斷y=f（x）在區間（-∞，m-1]上的單調性，并用單調性定義證明；
（3）若關于x的方程f（x）=kx有三個不同實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（2）=-2即m＞0即可求出；
（2）利用（1）先求出其解析式及單調區間，再利用定義證明即可；
（3）通過對x分別就x＞0、x=0、x＜0三種情況的解的情況討論即可．
解答：解：（1）由f（2）=-2，m＞0⇒，m＞0，解得m=1．
（2）由（1）可知：m=1，∴．
因此只研究函數f（x）==在區間（-∞，0]上的單調性即可．
此函數在區間（-∞，0]上單調遞增．
證明：設x₁＜x₂≤0，
則f（x₁）-f（x₂）==，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，4-x₁＞0，4-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在（-∞，0]上單調遞增．
（3）原方程即為（*）
①當x=0時，方程成立，即x=0是方程（*）的一個實數根；
②當x＜0時，方程（*）?，x＜0?＜0?，
即當時，方程（*）在區間（-∞，0）有唯一一個實數根，此外無解；
③當x＞0且x≠4時，方程（*）?，x＞0且x≠4?x=＞0，解得或k＞0．
∴時，方程（*）在區間（0，+∞）有一個實數根，此外無解．
綜上可知：要使原方程有三個不同實數根，當且僅當k滿足原方程在（-∞，0）和（0，+∞）
各有一個實數解時才成立，此時，．
∴實數k的取值范圍為．
點評：熟練掌握函數的單調性和分類討論的思想方法是解題的關鍵．