Question

已知函數，滿足f′（0）=1．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程在[0，2]恰有兩個不同的實根，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，根據f'（0）=1求出m的值代入函數f（x），然后根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減求單調區間．
（2）將函數f（x）的解析式代入方程得，
然后組成函數，根據單調性和極值點求解．
解答：解：（1），∵f′（0）=1，∴m=1．
∴，
令（舍去）．
當時，f'（x）＞0
∴f（x）在上是增函數；
當時，f'（x）＜0
∴f（x）在上是減函數．
（2），
由，
得，
設，=
當x∈（-1，0）時，h'（x）＞0，則h（x）在（-1，0）上單調遞增；
當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，則h（x）在（0，1）上單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，則h（x）在（1，+∞）上單調遞增；
而h（0）=-c，，h（2）=ln3-1-c
在[0，2]恰有兩個不同的實根等價于
∴實數c的取值范圍．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．