Question

已知點M（x₁,f(x₁)）是函數f(x)=,x∈(0,+∞)圖象C上的一點，記曲線C在點M處的切線為l.
（1）求切線l的方程；
（2）設l與x軸，y軸的交點分別為A、B，求△AOB周長的最小值.

Answer 1

（1）y=-x+ (2)△AOB周長的最小值是4+2

（1）f′(x)=-,∴k=f′(x₁)=-.
∴切線方程為y-=-(x-x₁),
即y=-x+.
(2)在y=-x+中，令y=0得x=2x₁,
∴A(2x₁,0).令x=0，得y=,∴B.
∴△AOB的周長m=2x₁++.
∴m=2,x₁∈(0,+∞).
令t=x₁+,∵x₁∈(0,+∞),∴t≥2.
∴當t=2，即x₁=1時，m_最小=2(2+).
故△AOB周長的最小值是4+2.