Question

已知正項數列滿足：，數列的前項和為，且滿足，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，求證：.

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

試題分析：（1）解以為變量的一元二次方程得出數列的通項公式，利用與之間的關系利用作差法求出數列的通項公式；（2）先求出數列的通項公式，方法一是將的前項和中的項一一配對并進行裂項展開，然后利用裂項法求，進而證明相應不等式；方法二是將數列中的每一項進行拆開，然后逐項求和，進而證明相應不等式.
試題解析：（1）由，得，
由于是正項數列，所以，
由可得當時，，兩式相減得，
數列是首項為，公比的等比數列，；
（2），
方法一：
，

；
方法二：，

.