Question

（2009•楊浦區一模）已知△OAB，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

a

|=

2

，|

b

|=

3

，

a

•

b

=1，邊AB上一點P₁，這里P₁異于A、B．由P₁引邊OB的垂線P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引邊OA的垂線Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引邊AB的垂線R₁P₂，P₂是垂足．同樣的操作連續進行，得到點　P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．設 

APn

=tn(

b

-

a

)(0＜t_n＜1），如圖．
（1）求|

AB

|的值；
（2）某同學對上述已知條件的研究發現如下結論：

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

，問該同學這個結論是否正確？并說明理由；
（3）用t₁和n表示t_n．

Answer 1

分析：（1）欲求|

AB

|的值，先求其平方．利用三角形OAB中的邊角條件即可求得 |

AB

|2，從而得出|

AB

|=

3

；
（2）該同學的結論正確．由（1）與已知，得三角形OAB的三邊長，由余弦定理結合向量條件即可證得．
（3）結合圖形，可得 tn+1=-

1

9

tn+

5

18

變形為：tn+1-

1

4

=-

1

9

(tn-

1

4

)得到{tn-

1

4

}構成一個等比數列，公比為-

1

4

，利用等比數列的通項公式即可表示出t_n

解答：解：（1）因為△OAB，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

a

|=

2

，|

b

|=

3

，

a

•

b

=1-----（1分）
則 |

AB

|2=|

b

-

a

|2=|

b

|2+|

a

|2-2

a

•

b

=3；所以，|

AB

|=

3

--------------（4分）
（2）該同學的結論正確．----------------------------（5分）
由（1）與已知，得|

AB

|=

3

，|

OB

|=

3

，|

OA

|=

2

由余弦定理  cos∠ABO=

| OB |2+|AB|2-|OA|2

2| OB || AB |

=

3+3-2

2× 3 × 3

=

2

3

-----------------（6分）
又∵|

AP1

|=t1|

b

-

a

|=

3

t1，則|

BP1

|=|

AB

|-|

AP1

|=

3

-

3

t1
則|

BQ1

|=|

BP

1|cos∠ABO=

2 3

3

(1-t1)，所以，

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

---------（8分）
（3）結合圖形，可得 tn+1=-

1

9

tn+

5

18

---------------------（14分）
則tn+1-

1

4

=-

1

9

(tn-

1

4

)------------------------（16分）
∴{tn-

1

4

}構成一個等比數列，公比為-

1

4

，
故tn=

1

4

+(t1-

1

4

)(-

1

9

)n-1(n≥2，n∈N*)--------------（18分）

點評：本小題主要考查向量模、解三角形的應用、數列的通項公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．