Question

（2009•楊浦區一模）研究人員發現某種特別物質的溫度y（單位：攝氏度）隨時間x（單位：分鐘）的變化規律是：y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求經過多少時間，該溫度為5攝氏度；
（2）若該物質的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將m=2，x=5代入y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．解指數方程即可求出x的值；
（2）問題等價于m2^x+2^1-x≥2（t≥0）恒成立，求出m2^x+2^1-x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立關系，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（1）由題意，當m=2，則2•2^x+2^1-x=5----------------（2分）
解得x=1或x=-1；  由x≥0，∴x=1-----------（5分）
故經過1時間，溫度為5攝氏度；-------------------------------（6分）
（2）由題意得m2^x+2^1-x≥2對一切x≥0恒成立，-------（7分）
則 由2^x＞0，得 m≥

2

2x

-

2

(2x)2

---------------------（9分）
令t=2^-x則0＜t≤1，f(t)=-2t2+2t=-2(x-

1

2

)2+

1

2

------------------（11分）
當t=

1

2

時，取得最大值為

1

2

；-------------------------（12分）
∴m≥

1

2

故的取值范圍為[

1

2

，+∞)----------------（14分）

點評：本題的考點是函數模型的選擇與運用，主要考查了函數模型的選擇，不等式的實際應用，以及恒成立問題，同時考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．