Question

t∈(0，10)，由t確定兩個任意點P(t，t)，Q(10－t，0)，問：①直線PQ是否能通過點M(6，1)和N(4，5)；②在內作內接正方形ABCD，頂點A、B在邊OQ上，頂點C在邊PQ上，頂點D在邊OP上．

(1)求證：頂點C一定在直線上；

(2)求圖中陰影部分面積的最大值，并求此時頂點A、B、C、D的坐標

Answer 1

答案：略
解析：

①由兩點式可得直線PQ的方程為 ， 假設點M在PQ上，則有 ，而△＜0，無實根， ∴M不在PQ上． 同理得：－16t＋50=0得=8－，=8＋(舍去)[∵t∈(0，10)] 當t=8－時，直線PQ過點N(4，5)． ②由已知可設A(a，0)、B(2a，0)、C(2a，a)、D(a，a) (1)由C(2a，a)知，頂點C在直線上． (2)令陰影面積為S，則 ，∵t∈(0，10) ∴ 又∵點C(2a，a)在直線PQ上 ∴2at－(2t－10)a=－＋l0t ∴ ∴ ∴當時，， 此時，A、B(5，0)、C、D

提示：

本題體現方程函數思想，用到待定系數法及解方程的知識． ①這是一道結論開放的探索性命題，通常假設結論是肯定的，若由此推導出的結果與已知條件和其他數學定理無矛盾，則結論是肯定性的，否則，結論就是否定的． ②最值問題轉化為函數求最值．