Question

一只球放在桌面上，桌面上一點A的正上方有一點光源O，OA與球相切，讓A在桌面上運動，OA始終與球相切，OA形成一個軸截面頂角為45°的圓錐，則點A的軌跡橢圓的離心率為

2

-1

．

Answer 1

分析：根據圓曲線的第一定義，作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，可得等腰直角三角形AOA′，在此三角形中利用切線長定理，可以求出焦點到長軸頂點距離AF與AA′的關系式，再根據橢圓的幾何性質，化為關于橢圓的參數a、c的等量關系，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：如圖是過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，根據圓錐曲線的定義，
可得球與長軸AA′的切點是橢圓的焦點F，OA⊥AA′
設光線OA與球相切于點E，OA′與球相切于點D
∵等腰直角三角形AOA′中，OA=AA′=

2

2

OA^/
∴AF=AE=

1

2

（OA+AA′-OA′）=AA′-

2

2

AA′=（1-

2

2

）AA′
根據橢圓的幾何性質，得長軸AA′=2a，
AF是焦點到長軸頂點的距離AF=a-c
代入到上式，得a-c=（1-

2

2

）•2a⇒

c

a

=

2

-1
所以所求橢圓的離心率為

2

-1
故答案為：

2

-1

點評：本題以空間的圓錐為載體，考查了圓錐曲線的形成過程，同時考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關系和橢圓的定義與性質，是解決本題的關鍵．