Question

已知圓C經過點A（1，3），B（5，1），且圓心C在直線x-y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線l經過點（0，3），且l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據圓心在直線x-y+1=0上，設出圓心坐標，設出圓的半徑，得到圓的標準方程，然后把點A，B的坐標代入圓的方程，求解方程組即可得到待求系數，則方程可求；
（2）分斜率存在和不存在寫出切線方程，當斜率不存在時，驗證知符合題意，當斜率存在時，利用圓心到直線的距離等于半徑可求k的值，所以圓的切線方程可求．

解答：解：（1）因為圓心C在直線x-y+1=0上，所以設圓C的圓心C（a，a+1），半徑為r（r＞0），
所以圓的方程為（x-a）²+（y-a-1）²=r²．
因為圓C經過點A（1，3），B（5，1），
所以，

(1-a)2+(3-a-1)2=r2 (5-a)2+(1-a-1)2=r2

，即

2a2-6a+5=r2 2a2-10a+25=r2

，
解得：

a=5 r=5

．
所以，圓C的方程為（x-5）²+（y-6）²=25；
（2）由題意設直線l的方程為y=kx+3，或x=0
當l的方程為x=0時，驗證知l與圓C相切．
當l的方程為y=kx+3，即kx-y+3=0時，
圓心C到直線l的距離為d=

|5k-6+3|

k2+1

=5，解得：k=-

8

15

．
所以，l的方程為y=-

8

15

x+3，即8x+15y-45=0．
所以，直線l的方程為x=0，或8x+15y-45=0．

點評：本題考查用待定系數法求圓的方程，一般可通過已知條件，設出所求方程，再尋求方程組進行求解．
考查了過定點的圓的切線方程的求法，注意分類討論，利用點到直線的距離等于半徑比聯立方程后讓判別式等于0要簡潔．此題是中檔題．