Question

已知定義在R上的函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，且對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．若f（3^x）+f（9^x-2）＞0，則實數x的取值范圍為（　　）

• A、(0，

  1

  2

  )
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：本題考查的抽象函數的應用，由于f（x+y）=f（x）+f（y），我們不難計算出f（0）=0，并由此進而給出函數f（x）為奇函數，且在R上遞增，則f（3^x）+f（9^x-2）＞0可以轉化為一個指數不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數x的取值范圍．

解答：解：由函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
且對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）
f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
∴f（x-x）=f（0）=0=f（x）+f（-x）．
即f（x）為奇函數，則f（x）在R單調遞增．
∴f（3^x）+f（9^x-2）＞0
可轉化為f（3^x+9^x-2）=f[（3^x）²+3^x-2]＞0=f（0）
即（3^x）²+3^x-2＞0
解得3^x＜-2，或3^x＞1
結合指數函數性質，解得x＞0
故選B

點評：本題的解答過程比較復雜，當我們遇到一個抽象函數時，我們要分析其已知條件，湊出一些特殊點的函數值，分析函數的性質，然后對要求的不等式進行轉化．