Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（0）=1，則f（2010）的值為（　　）

A．2010

B．2009

C．1

D．0

Answer 1

分析：先根據其為偶函數得到f（-3）=f（3）；再結合對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立求出f（3）=0；進而得到函數的周期為6．即可求出結論．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數
∴f（-3）=f（3）；
∵對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3）⇒f（3）=f（-3）+f（3）⇒f（3）=2f（3）⇒f（3）=0．
∴f（x+6）=f（x）
∴周期T=6．
∴f（2010）=f（6×335）=f（0）=1．
故選C．

點評：本題主要考查函數的奇偶性以及周期性的應用．解決本題的關鍵在于先根據其為偶函數得到f（-3）=f（3）；再結合條件求出周期為6．