Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC₁中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）要證AB₁⊥面A₁BD，只需證明直線AB₁垂直面A₁BD內(nèi)的兩條相交直線B₁O、AB₁即可；
（2）設(shè)AB₁與A₁B交于點(diǎn)G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，
說(shuō)明∠AFG為二面角A-A₁D-B的平面角，然后解三角形，求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）利用等體積法，求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量的數(shù)量積等于0證明垂直，
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
向量共線證明平行，向量數(shù)量積求出二面角的大小
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
距離公式求出距離，解答（3）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．
解答：證明：法一：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連接AO．∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．
連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分別為BC，CC₁的中點(diǎn)，∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）設(shè)AB₁與A₁B交于點(diǎn)G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，
由（Ⅰ）得AB₁⊥平面A₁BD．∴AF⊥A₁D，∴∠AFG為二面角A-A₁D-B的平面角．
在△AA₁D中，由等面積法可求得，
又∵，
∴．
所以二面角A-A₁D-B的大小為．
（Ⅲ）△A₁BD中，，S_△BCD=1．
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距離為=．
設(shè)點(diǎn)C到平面A₁BD的距離為d．
由得，∴．∴點(diǎn)C到平面C的距離為．
法二：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中點(diǎn)O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（-1，1，0），，，B₁（1，2，0），
∴，，．
∵，，
∴，．
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）設(shè)平面A₁AD的法向量為n=（x，y，z）．，．
∵，，
∴∴∴
令z=1得為平面A₁AD的一個(gè)法向量．
由（Ⅰ）知AB₁⊥平面A₁BD，∴為平面A₁BD的法向量．cos＜n，．
∴二面角A-A₁D-B的大小為．
（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面A₁BD法向量，∵．
∴點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．