Question

已知定點A（﹣3，0），MN分別為x軸、y軸上的動點（M、N不重合），且AN⊥MN，點P在直線MN上，．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設點Q是曲線x²+y²﹣8x+15=0上任一點，試探究在軌跡C上是否存在點T？使得點T到點Q的距離最小，若存在，求出該最小距離和點T的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設點M、N的坐標分別為（a，0），（0，b），（a≠0，b≠0），點P的坐標為（x，y），則
，，
由AN⊥MN得3a﹣b²=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（*）
由得
∴代入（*）得
y²=4x
∵a≠0，b≠0
∴x≠0，y≠0
∴動點P的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）
（2）曲線x²+y²﹣8x+15=0，即（x﹣4）²+y²=1，是以B（4，0）為圓心，以1為半徑的圓，
設 T為軌跡C上任意一點，連接TB，則
|TQ|+|QB|≥|TB||TQ|≥|TB|﹣1
∴當|TB|最小時，|TQ|最小．
∵點T在軌跡C上，
設點（m≠0）
∴=
當m²=8，即時，|TB|有最小值，
當m²=8時，
∴在軌跡C上是存在點T，其坐標為，使得|TQ|最小，
．