Question

已知定點A（-3，0），兩動點B、C分別在y軸和x軸上運動，且滿足

AB

•

BC

=0，

CQ

=2

BC

，
（1）求動點Q的軌跡E的方程；
（2）過點G（0，1）的直線l與軌跡E在x軸上部分交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于D點，求D點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點B、C、Q的坐標分別為（0，b）、（c，0）、（x，y），由已知得

3c-b2=0 x-c=2c y=-2b

，由此得動點E的軌跡E的方程．
（2）設直線l的方程為x=k（y-1），代入軌跡E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0，由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．由根與系數的關系可得MN的中點坐標為（k（2k-1），2k）．由此能求出D點的橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）設點B、C、Q的坐標分別為（0，b）、（c，0）、（x，y），

則有 AB =(3，b). BC =(c，-b)， CQ =(x-c，y) 由已知得 3c-b2=0 x-c=2c y=-2b 消去b，c得y2=4x， 即動點Q的軌跡E的方程是y2=4x．

（2）設直線l的方程為x=k（y-1），代入軌跡E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0
由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．
由根與系數的關系可得MN的中點坐標為（k（2k-1），2k）．
∴線段MN垂直平分線方程為y-2k=k[x-k（2k-1）]．
令y=0，得D點的橫坐標為x₀=2k²-k+2．
∵k＞1，∴x₀＞3，∴D點的橫坐標的取值范圍為（3，+∞）．

點評：本題考查動點的軌跡方程的求法和求D點的橫坐標的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．