Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，其左焦點到橢圓上點的最遠距離為3，點為橢圓外一點，不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分

（1）求橢圓C的標準方程

（2）求面積最大值時的直線l的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) y＝

【解析】

（1）由已知可得，，解方程組即可求出橢圓的標準方程.

（2）將代入橢圓方程，利用點差法求出，設出，代入橢圓方程，利用弦長公式，點到直線的距離以及三角形面積公式，求出面積，再利用導數思想求出面積最大值時的值，即可求出直線方程.

（1）由題：，

左焦點到橢圓上點的最遠距離為，

即：，可解得：.

∴所求橢圓的方程為：.

（2）易得直線的方程：，設，，

的中點.其中.

∵在橢圓上，

∴

整理得：，

因為，代入求得：.

設直線的方程為，，

代入橢圓：.

由，可得：，且.

由上又有：，，

∴.

∵點到直線的距離為：，

∴.

令， 且.

，

整理得：

當時，取得最大值，

此時直線的方程.