Question

已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求出函數的導函數，由導函數在x∈[1，e]上大于0得到函數的單調性，由單調性求得最值；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，分a的取值范圍討論導函數在定義域上的單調性，由函數的單調性得到函數的極值點并求得極值．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區間[1，e]上為增函數，
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

，fmin(x)=f( 1 )=

1

2

；
（Ⅱ）f′(x)=(2a-1)x+

1

x

=

(2a-1)x2+1

x

，（x＞0）．
①當2a-1≥0，即a≥

1

2

時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）是單調遞增函數．
故f（x）無極值點．
②當2a-1＜0，即a＜

1

2

時．令f′（x）=0，得x1=

1 1-2a

，x2=-

1 1-2a

，（舍去）
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0， 1 1-2a )	1 1-2a	（ 1 1-2a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

由上表可知，x=

1 1-2a

時，f_極大值（x）=-

1

2

-

1

2

ln（1-2a）．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．考查了函數取得極值的條件，是中檔題．