Question

已知定義域為R的函數f(x)=

a•2x-1

2x+1

是奇函數．
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）若對任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的定義得到f（-x）=-f（x），解出f（0）=0代入解析式求解即可
（2）由（1）f(x)=

2x-1

2x+1

，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差，利用定義法證明其單調性；
（3）由奇函數的性質將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立的問題轉化為，f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對t∈[-2，2]恒成立利用函數的單調性轉化為一元二次不等式，整理得到一個一元二次不等式在t∈[-2，2]恒成立，借用二次函數的性質求最值即可．

解答：解：（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
則

a-1

1+1

=0?a=1
（2）f（x）為遞增函數
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）為遞增函數
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對t∈[-2，2]恒成立
則f（t²-2t）＜-f（2t²-k）對t∈[-2，2]恒成立
因為f（x）為奇函數，即f（-x）=-f（x）
則f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對t∈[-2，2]恒成立
又因為f（x）為遞增函數
所以t²-2t＜-2t²+k對t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0對t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，當x=-2時，u_max=16-k
則16-k＜0，則k＞16

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，解題的關鍵是掌握住奇函數的性質以及定義法證明單調性的原理與步驟，第三問中解抽象不等式是本題的重點，利用函數的奇偶性與單調性結合解不等式是這兩個性質的重要運用，這幾年的高考中時有出現，題后要總結一下此小題的解題規律，本小時易因為轉化不等價導致錯誤，切記．