Question

定義運算a*b=

a，(a≥b) b，(a＜b)

，如1*2=2，則函數f（x）=sinx*cosx的值域為

[-

2

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用正余弦曲線，算出函數f（x）在區間[-

3π

4

，

5π

4

）上的最小值為-

2

2

，最大值為1，可得此時函數的值域為[-

2

2

，1]．再證出函數的周期為2π，所以函數在R上的值域與[-

3π

4

，

5π

4

）上的值域相同，可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=sinx*cosx=

sinx，(sinx≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

，
∴當x∈[-

3π

4

，

5π

4

）時，根據正余弦曲線，
可得f（x）=

sinx，(- 3π 4 ≤x≤ π 4 ) cosx，( π 4 ＜ 5π 4 )

，
∴此時函數的最小值為f（-

3π

4

）=-

2

2

； 函數的最大值
為f（0）=f（

π

2

）=1，可得函數的值域為[-

2

2

，1]．
∵f（x+2π）=sin（x+2π）*cos（x+2π）=sinx*cosx=f（x），
∴函數f（x）=sinx*cosx的周期為2π，可得函數在R上的值域與[-

3π

4

，

5π

4

）上的值域相同，
由此可得函數f（x）=sinx*cosx的值域為[-

2

2

，1]．
故答案為：[-

2

2

，1]

點評：本題給出新定義的函數，求f（x）=sinx*cosx的值域．著重考查了三角函數的圖象與性質、函數的周期與值域求法等知識，屬于中檔題．