Question

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2） 詳見解析；（3）.

試題分析：（1）利用三角形的中位線定理證明；（2）證明平面，再證；（3）用向量法求解.
試題解析：（1)連結交于，連結,因為四邊形為正方形，所以為的中點，又點為的中點，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，
所以，//平面.
（2）因為正方形與矩形所在平面互相垂直，所以，，
而，所以平面，又平面，所以.
（3）存在滿足條件的.
依題意，以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，因為，則，，，，，所，
易知為平面的法向量，設，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，
則，又二面角的大小為，
所以，解得.
故在線段上是存在點，使二面角的大小為，且.