Question

（2009•黃浦區二模）某工廠生產甲、乙兩種產品所需原材料噸數及一周內可用工時總量如下表所示．

	每噸甲產品消耗	每噸乙產品消耗	每周可供使用的總量
原材料（噸數）	3	2	16
生產時間（小時）	5	1	15

已知銷售甲、乙產品每噸的利潤分別為5萬元和2萬元．試問生產甲、乙兩種產品各多少噸時，該廠每周獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：設工廠一周內生產甲產品x噸、乙產品y噸，每周所獲利潤為z萬元，依據題意，得約束條件為

3x+2y≤16 5x+y≤15 x≥0 y≥0

，和目標函數z=5x+2y，然后求得最優解，即求得利潤的最大值和最大值的狀態．

解答：解：設工廠一周內生產甲產品x噸、乙產品y噸，每周所獲利潤為z萬元．　　（1分）
依據題意，得約束條件為

3x+2y≤16 5x+y≤15 x≥0 y≥0

．　　　　　　　　　　　　（4分）
求目標函數z=5x+2y的最大值．     　 　　    （6分）
畫出約束條件的可行域，如圖陰影部分所示．　    （8分）
將直線5x+2y=0向上平移，可以發現，經過可行域的最后一個點B（2，5）時，函數z=5x+2y的值最大（也可通過代凸多邊形端點進行計算求得），最大值為5×2+2×5=20（萬元）．　　　　　　　　（11分）
所以每周生產甲產品2噸，乙產品5噸時，工廠可獲得的周利潤最大（20萬元）．（12 分）

點評：本題主要考查用簡單的線性規劃研究目標函數的最大和最小值，關鍵是通過平面區域，求得最優解，屬于線性規劃的應用題．