Question

下列命題中，其中不正確的個數是（ ）
①若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線相互平行
②若兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行
③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，則l⊥γ
④一個平面α內兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α∥β
⑤過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，則點O是△ABC的內心
⑥垂直于同一條直線的兩個平面互相平行．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：通過舉反例可判斷①②錯誤；利用面面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理可證明③正確；利用面面平行的判定定理可判斷④正確；利用直線在平面內的射影性質，可判斷⑤錯誤；利用空間向量理論可證明⑥正確
解答：解：①如正方體從一個定點出發的三條棱，兩兩互相垂直，故①②錯；
③設α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ內作直線c⊥a，d⊥b，c∩d=O
∵平面α⊥平面γ，∴c⊥α，∵l?α，∴c⊥l，同理可證d⊥l
即l垂直于平面γ內的兩條相交直線，∴l⊥γ，③正確；
④依據面面平行的判定定理，一個平面α內兩條相交的直線都平行于另一平面β，則α∥β，可判斷④正確；
⑤∵PA=PB=PC，∴它們在平面ABC內的射影OA=OB=OC，從而點O為三角形ABC的外心，⑤錯；
⑥垂直于同一條直線的兩個平面，即兩平面的法向量共線，故兩平面平行，⑥正確；
故正確命題有③④⑥三個
故選 C
點評：本題綜合考查了空間線線的位置關系，空間面面垂直的性質及線面垂直的判定，斜線的射影性質等基礎知識，具有較強的空間想象能力和推理論證能力是解決本題的關鍵