Question

下列命題中：①函數，f（x）=sinx+

2

sinx

（x∈（0，π））的最小值是2

2

；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；③如果正實數a，b，c滿足a ₊ b＞c則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

；④如果y=f（x）是可導函數，則f′（x₀）=0是函數y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件．其中正確的命題是（　�。�

• A、①②③④
• B、①④
• C、②③④
• D、②③

Answer 1

分析：根據基本不等式和三角函數的有界性可知真假，利用題設等式，根據和差化積公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推斷出A+B=

π

2

或A=B，則三角形形狀可判斷出．構造函數y=

x

1+x

，根據函數的單調性可證得結論；由函數極值點與導數的關系，我們易判斷對錯．

解答：解：①f（x）=sinx+

2

sinx

≥2

2

，當sinx=

2

時取等號，而sinx的最大值是1，故不正確；
②∵sin2A=sin2B∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0∴A+B=

π

2

或A=B
∴三角形為直角三角形或等腰三角形，故正確；
③可構造函數y=

x

1+x

，該函數在（0．+∞）上單調遞增，a+b＞c則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

，故正確；
④∵f（x）是定義在R上的可導函數，
當f′（x₀）=0時，x₀可能f（x）極值點，也可能不是f（x）極值點，
當x₀為f（x）極值點時，f′（x₀）=0一定成立，
故f′（x₀）=0是x₀為f（x）極值點的必要不充分條件，故④正確；
故選C．

點評：考查學生會利用基本不等式解題，注意等號成立的條件，同時考查了極值的有關問題，屬于綜合題．