Question

已知數列{a_n}各項均為正數，S_n為其前n項和，對于，總有成等差數列.

(I )求數列{a_n}的通項a_n；

(II )設數列的前n項和為T_n,數列{T_n}的前n項和為R_n,求證：時，；

(III)對任意，試比較與的大小

 

Answer 1

【答案】

（I）a_n=1+(n-1)·1=n (n∈N^*)．（2）略 （3）

【解析】(I )由條件得，遞寫相減得a_n+1-a_n=1，由等差數列求得通項；(II )求出兩邊表達式證明相等；(III)數學歸納法或不等式證明。

解：（I）由題意，得（n∈N*）．

于是，

兩式相減，得，

即a_n+1+a_n=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，

由題，a_n>0，a_n+1+a_n≠0，

得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數列．

又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．

∴ a_n=1+(n-1)·1=n (n∈N^*)．……………………………………………5分

（II）證法一：由（I）知，于是，

于是當n≥2時，

=

=

=

==n(T_n-1).    ……………………………10分

法二：①當n=2時，R₁=T₁==1，2(T₂-1)=2(=1，

∴ n=2時，等式成立．

②假設n=k（k≥2）時，等式成立，即，

當n=k+1時，

==  = 

 ==  =．

∴ 當n=k+1時，等式也成立．

綜合①②知，原等式對n≥2，n∈N*均成立．   …………………………10分

（III）由（I）知，．

由分析法易知，，

當k≥2時，

，∴

．即．