Question

15．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，利用奇偶性的定義即可判斷f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$的定義域是D=（-∞，0）∪（0，+∞），
任取x∈D，則-x∈D，
且f（-x）=-x-$\frac{1}{-x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁x₂＞0，
x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，
∴$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．