Question

己知數列{A_n}中，A₁>－1,對任意自然數n，都有A_n+1=.

(1)   設A₁=1,求A₂,A₃,A₄;

(2)   試比較A_n與的大小，并證明你的結論；

(3)   當A₁≠時，證明：對于任意自然數n，或者都滿足A_2n－1<A_2n+1;或者都滿足A_2n－1<A_2n+1。

Answer 1

答案：
解析：

（1）依A1=1,可以依次推得： A2=,A3=,A4=. (2)依A1>－1及An+1==1+, 可以推得An>－1. 研究An+1－=－ ==(An－1－).　　 (*) 注意到：>0 ①當A1=時，假設n=k時，Ak=,則依（*）推出Ak+1=. 因此對于任意自然數n，An=. ②當－1<A1<時，由A2－=>0,推出A2>,A3<.假設n=k時，若－1<Ak<,則依（*） 推出Ak+2<. 因此，當n是奇數時An<;當n是偶數時，An>. ③當A1>時，同理可證 當n是奇數時，An>;當n是偶數時，An<. (3)研究A2n+1－A2n－1=(1+)－A2n－1 =1+－A2n－1 =.　　    　　　　　　 (* *) ①    當－1<A1<時，依（2）中可知，－1<A2n－1<,故2－A2n－12>0且2A2n－1+3>0.則由（*  *）得，對任意自然數n，有A2n+1>A2n－1. ②    當A1>時，依（2）中可知，A2n－1>,故2－A2n－12<0. 因此，對任意自然數n，有A2n+1<A2n－1.