Question

如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP=

a

3

，過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ=

 

．

Answer 1

分析：由題設PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的長度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的長度．

解答：解：∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面A₁B₁C₁D₁
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分別是A₁B₁、B₁C₁的中點
∴MN∥A₁C₁∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=

a

3

，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，
∴CQ=

a

3

，從而DP=DQ=

2a

3

，
∴PQ=

DQ2+DP2

=

( 2a 3 )2+( 2a 3 )2

=

2 2

3

a．
故答案為：

2 2

3

a

點評：本題考查平面與平面平行的性質，是立體幾何中面面平行的基本題型，本題要求靈活運用定理進行證明．