Question

如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，已知AB=3，AD=4，AA₁=2，M是棱A₁D₁的中點，求直線AM與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：先建立空間坐標系，分別求出向量

AM

與平面BB₁D₁D的法向量的坐標，再利用公式直線AM與平面BB₁D₁D所成的角是θ，則sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|即可求出．

解答：解：以D為坐標原點，DA，DC，DD₁為坐標軸，建立O-xyz坐標系，
則

AM

=(-2，0，2)，

DD1

=(0，0，2)，

DB

=(4，3，0)，
設平面BDD₁B₁的一個法向量為

n

=（x，y，z）
由

n • DD1 =2z=0 n • DB =4x+3y=0

，可得z=0，令x=3，則y=-4，
可得平面BB₁D₁D的一個法向量

n

=（3，-4，0），∴

AM

•

n

=-6．
設直線AM與平面BB₁D₁D所成的角是θ，則sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|=

| AM • n |

| AM || n|

=

6

8 × 25

=

3 2

10

．
故直線AM與平面BB₁D₁D所成角的正弦值是

3 2

10

．

點評：正確利用公式直線AM與平面BB₁D₁D所成的角θ，則sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|=

| AM • n |

| AM || n|

是解題的關鍵．